Un corpo la cui superficie è costituita da un finito. Un poliedro è un corpo la cui superficie è costituita da un numero finito di poligoni piatti. Poliedro. Si scopre che i cristalli di calcite, non importa quanto siano frantumati in parti più piccole, si disintegrano sempre

Cubo, palla, piramide, cilindro, cono: corpi geometrici. Tra questi ci sono i poliedri. Poliedroè un corpo geometrico la cui superficie è costituita da un numero finito di poligoni. Ciascuno di questi poligoni è chiamato faccia del poliedro, i lati e i vertici di questi poligoni sono, rispettivamente, gli spigoli e i vertici del poliedro.

Angoli diedri tra facce adiacenti, cioè lo sono anche le facce che hanno un lato comune, il bordo del poliedro menti diedrali del poliedro. Gli angoli dei poligoni - le facce di un poligono convesso - lo sono menti piatte del poliedro. Oltre agli angoli piatti e diedri, un poliedro convesso ha anche angoli angoli poliedrici. Questi angoli formano facce che hanno un vertice comune.

Tra i poliedri ci sono prismi E piramidi.

Prisma -è un poliedro la cui superficie è costituita da due poligoni uguali e da due parallelogrammi che hanno i lati in comune con ciascuna delle basi.

Si chiamano due poligoni uguali motivi ggrizmg, e i parallelogrammi sono lei laterale bordi. Si formano le facce laterali superficie laterale prismi. Si chiamano bordi che non giacciono alla base nervature laterali prismi.

Il prisma si chiama p-carbone, se le sue basi sono i-goni. Nella fig. 24.6 mostra un prisma quadrangolare ABCDA"B"C"D".

Il prisma si chiama Dritto, se le sue facce laterali sono rettangoli (Fig. 24.7).

Il prisma si chiama corretto , se è diritto e le sue basi sono poligoni regolari.

Si chiama prisma quadrangolare parallelepipedo , se le sue basi sono parallelogrammi.

Si chiama il parallelepipedo rettangolare, se tutte le sue facce sono rettangoli.

Diagonale di un parallelepipedoè un segmento che collega i suoi vertici opposti. Un parallelepipedo ha quattro diagonali.

È stato dimostrato Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in un punto e in questo punto sono divise in due. Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono uguali.

Piramideè un poliedro, la cui superficie è costituita da un poligono, la base della piramide, e da triangoli che hanno un vertice comune, chiamati facce laterali della piramide. Il vertice comune di questi triangoli si chiama superiore piramidi, nervature che si estendono dalla sommità, - nervature laterali piramidi.

La perpendicolare tracciata dal vertice della piramide alla base, così come la lunghezza di questa perpendicolare, si chiama altezza piramidi.

La piramide più semplice - triangolare o tetraedro (Fig. 24.8). La particolarità di una piramide triangolare è che qualsiasi faccia può essere considerata come base.

La piramide si chiama corretto, se la sua base è un poligono regolare e tutti i lati sono uguali tra loro.

Tieni presente che dobbiamo distinguere tetraedro regolare(cioè un tetraedro in cui tutti i bordi sono uguali tra loro) e piramide triangolare regolare(alla sua base si trova un triangolo regolare e i bordi laterali sono uguali tra loro, ma la loro lunghezza può differire dalla lunghezza del lato del triangolo, che è la base del prisma).

Distinguere sporgente E non convesso poliedri. Puoi definire un poliedro convesso se usi il concetto di corpo geometrico convesso: un poliedro si chiama convesso. se è una figura convessa, cioè insieme a due qualsiasi dei suoi punti, contiene interamente anche il segmento che li collega.

Un poliedro convesso può essere definito diversamente: si chiama poliedro convesso, se giace interamente su un lato di ciascuno dei poligoni che lo delimitano.

Queste definizioni sono equivalenti. Non forniamo la prova di questo fatto.

Tutti i poliedri considerati finora erano convessi (cubo, parallelepipedo, prisma, piramide, ecc.). Il poliedro mostrato in Fig. 24.9, non è convesso.

È stato dimostrato in un poliedro convesso tutte le facce sono poligoni convessi.

Consideriamo diversi poliedri convessi (Tabella 24.1)

Da questa tabella ne consegue che per tutti i poliedri convessi considerati l'uguaglianza B - P + G= 2. Si è scoperto che questo vale anche per qualsiasi poliedro convesso. Questa proprietà fu dimostrata per la prima volta da L. Euler e fu chiamata teorema di Eulero.

Si chiama poliedro convesso corretto se le sue facce sono poligoni regolari uguali e in ciascun vertice convergono lo stesso numero di facce.

Usando la proprietà di un angolo poliedrico convesso, si può dimostrarlo Esistono non più di cinque diversi tipi di poliedri regolari.

Infatti, se ventaglio e poliedro sono triangoli regolari, allora 3, 4 e 5 possono convergere in un vertice, poiché 60" 3< 360°, 60° - 4 < 360°, 60° 5 < 360°, но 60° 6 = 360°.

Se tre triangoli regolari convergono in ciascun vertice di un polifan, allora otteniamo tetraedro destrorso, che tradotto da Fetico significa “tetraedro” (Fig. 24.10, UN).

Se quattro triangoli regolari si incontrano in ciascun vertice di un poliedro, allora otteniamo ottaedro(Fig. 24.10, V). La sua superficie è composta da otto triangoli regolari.

Se cinque triangoli regolari convergono in ciascun vertice di un poliedro, allora otteniamo icosaedro(Fig. 24.10, d). La sua superficie è composta da venti triangoli regolari.

Se le facce di un polifan sono quadrate, solo tre di esse possono convergere in un vertice, poiché 90° 3< 360°, но 90° 4 = 360°. Этому условию удовлетворяет только куб. Куб имеет шесть фаней и поэтому называется также esaedro(Fig. 24.10, B).

Se gli spigoli di un polifan sono pentagoni regolari, allora solo phi può convergere in un vertice, poiché 108° 3< 360°, пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани, называется dodecaedro(Fig. 24.10, D). La sua superficie è composta da dodici pentagoni regolari.

Le facce di un poliedro non possono essere esagonali o più, poiché anche per un esagono 120° 3 = 360°.

In geometria è stato dimostrato che nello spazio euclideo tridimensionale esistono esattamente cinque diversi tipi di poliedri regolari.

Per realizzare un modello di poliedro, devi realizzarlo scansione(più precisamente, lo sviluppo della sua superficie).

Lo sviluppo di un poliedro è una figura su un piano che si ottiene se la superficie del poliedro viene tagliata lungo determinati bordi e spiegata in modo che tutti i poligoni compresi in questa superficie giacciano sullo stesso piano.

Si noti che un poliedro può avere sviluppi diversi a seconda di quali bordi tagliamo. La Figura 24.11 mostra figure che sono vari sviluppi di una piramide quadrangolare regolare, cioè una piramide con un quadrato alla base e tutti i bordi laterali uguali tra loro.

Perché una figura su un piano sia lo sviluppo di un poliedro convesso, deve soddisfare una serie di requisiti legati alle caratteristiche del poliedro. Ad esempio, le figure in Fig. 24.12 non sono sviluppi di una piramide quadrangolare regolare: nella figura mostrata in Fig. 24.12, UN, in cima M quattro facce convergono, cosa che non può avvenire in una piramide quadrangolare regolare; e nella figura mostrata in Fig. 24.12, B, nervature laterali A B E Sole non uguale.

In generale lo sviluppo di un poliedro può essere ottenuto tagliandone la superficie non solo lungo i bordi. Un esempio di tale sviluppo del cubo è mostrato in Fig. 24.13. Pertanto, più precisamente, lo sviluppo di un poliedro può essere definito come un poligono piano dal quale si può ricavare la superficie di tale poliedro senza sovrapposizioni.

Corpi di rotazione

Corpo di rotazione chiamato corpo ottenuto dalla rotazione di una figura (solitamente piatta) attorno ad una linea retta. Questa linea si chiama asse di rotazione.

Cilindro- corpo dell'Io, che si ottiene ruotando un rettangolo attorno a uno dei suoi lati. In questo caso, la parte specificata è asse del cilindro. Nella fig. 24.14 mostra un cilindro con un asse OO', ottenuto ruotando un rettangolo AA"O"O attorno ad una linea retta OO". Punti DI E DI"- centri delle basi dei cilindri.

Si chiama cilindro il risultato della rotazione di un rettangolo attorno ad uno dei suoi lati circolare rettilineo un cilindro, poiché le sue basi sono due cerchi uguali posti su piani paralleli in modo che il segmento che collega i centri dei cerchi sia perpendicolare a questi piani. La superficie laterale del cilindro è formata da segmenti uguali al lato del rettangolo paralleli all'asse del cilindro.

Spazzare La superficie laterale di un cilindro circolare retto, se tagliato lungo una generatrice, è un rettangolo, di cui un lato è uguale alla lunghezza della generatrice, e l'altro alla lunghezza della circonferenza di base.

Cono- questo è un corpo ottenuto come risultato della rotazione di un triangolo rettangolo attorno a una delle gambe.

In questo caso, la gamba indicata è immobile e viene chiamata l'asse del cono. Nella fig. La Figura 24.15 mostra un cono con asse SO, ottenuto ruotando un triangolo rettangolo SOA con un angolo retto O attorno al gambo S0. Si chiama il punto S apice del cono, OA- il raggio della sua base.

Si chiama cono il risultato della rotazione di un triangolo rettangolo attorno ad uno dei suoi cateti cono circolare diritto poiché la sua base è un cerchio e la sua sommità è proiettata nel centro di questo cerchio. La superficie laterale del cono è formata da segmenti uguali all'ipotenusa del triangolo, dopo la rotazione dei quali si forma un cono.

Se la superficie laterale del cono viene tagliata lungo la generatrice, può essere “dispiegata” su un piano. Spazzare La superficie laterale di un cono circolare retto è un settore circolare di raggio pari alla lunghezza della generatrice.

Quando un cilindro, un cono o qualsiasi altro corpo di rotazione interseca un piano contenente l'asse di rotazione, risulta sezione assiale. La sezione assiale del cilindro è un rettangolo, la sezione assiale del cono è un triangolo isoscele.

Palla- questo è un corpo ottenuto come risultato della rotazione di un semicerchio attorno al suo diametro. Nella fig. 24.16 mostra una sfera ottenuta ruotando un semicerchio attorno al diametro AA". Punto DI chiamato il centro della palla, e il raggio del cerchio è il raggio della palla.

Viene chiamata la superficie della palla sfera. La sfera non può essere ruotata su un piano.

Qualsiasi sezione di una palla lungo un piano è un cerchio. Il raggio della sezione trasversale della palla sarà maggiore se l'aereo passa attraverso il centro della palla. Pertanto si chiama la sezione di una palla lungo un piano passante per il centro della palla grande cerchio della palla, e il cerchio che lo delimita lo è grande cerchio.

IMMAGINE DI CORPI GEOMETRICI SUL PIANO

A differenza delle figure piatte, i corpi geometrici non possono essere rappresentati con precisione, ad esempio, su un foglio di carta. Tuttavia, con l'aiuto dei disegni su un piano, puoi ottenere un'immagine abbastanza chiara delle figure spaziali. Per fare ciò, vengono utilizzati metodi speciali per rappresentare tali figure su un aereo. Uno di essi è progettazione parallela.

Siano dati un piano e una retta che interseca a UN. Prendiamo un punto A arbitrario nello spazio che non appartiene alla linea UN, e ti guideremo attraverso X diretto UN", parallelo alla linea UN(Fig. 24.17). Dritto UN" interseca l'aereo ad un certo punto X", che è chiamato proiezione parallela del punto X sul piano a.

Se il punto A giace su una retta UN, poi con proiezione parallela X"è il punto in cui la linea UN interseca il piano UN.

Se il punto X appartiene al piano a, quindi il punto X" coincide con il punto X.

Pertanto, se sono dati un piano a e una retta che lo interseca UN. poi ogni punto X lo spazio può essere associato ad un singolo punto A" - una proiezione parallela del punto X sul piano a (quando si progetta parallelamente alla linea retta UN). Aereo UN chiamato piano di proiezione. A proposito della linea UN dicono che abbaierà direzione progettuale - sostituzione diretta di ggri UN qualsiasi altro risultato di progettazione diretta parallela ad essa non cambierà. Tutte le rette parallele ad una retta UN, specificano la stessa direzione del disegno e vengono chiamati insieme alla linea retta UN proiettare linee rette.

Proiezione figure F chiamare un set F' proiezione di tutti i punti. Mappatura di ogni punto X figure F"la sua proiezione parallela è un punto X" figure F", chiamato progettazione parallela figure F(Fig. 24.18).

Una proiezione parallela di un oggetto reale è la sua ombra che cade su una superficie piana esposta alla luce del sole, poiché i raggi del sole possono essere considerati paralleli.

Il design parallelo ha una serie di proprietà, la cui conoscenza è necessaria quando si raffigurano corpi geometrici su un piano. Formuliamo i principali senza fornirne la dimostrazione.

Teorema 24.1. Durante la progettazione parallela, per le linee rette non parallele alla direzione di progetto e per i segmenti che giacciono su di esse vengono soddisfatte le seguenti proprietà:

1) la proiezione di una linea è una linea e la proiezione di un segmento è un segmento;

2) le proiezioni di linee parallele sono parallele o coincidono;

3) il rapporto tra le lunghezze delle proiezioni di segmenti giacenti sulla stessa retta o su rette parallele è pari al rapporto tra le lunghezze dei segmenti stessi.

Da questo teorema segue conseguenza: con la proiezione parallela, il centro del segmento viene proiettato nel centro della sua proiezione.

Quando si raffigurano corpi geometrici su un piano, è necessario assicurarsi che le proprietà specificate siano soddisfatte. Altrimenti può essere arbitrario. Pertanto, gli angoli e i rapporti delle lunghezze dei segmenti non paralleli possono cambiare arbitrariamente, cioè, ad esempio, un triangolo nella struttura parallela viene rappresentato come un triangolo arbitrario. Ma se il triangolo è equilatero, allora la proiezione della sua mediana deve collegare il vertice del triangolo con il centro del lato opposto.

E un altro requisito deve essere osservato quando si raffigurano corpi spaziali su un piano: per contribuire a crearne un'idea corretta.

Rappresentiamo, ad esempio, un prisma inclinato le cui basi sono quadrate.

Costruiamo prima la base inferiore del prisma (puoi iniziare dall'alto). Secondo le regole del disegno parallelo, oggo sarà rappresentato come un parallelogramma arbitrario ABCD (Fig. 24.19, a). Poiché i bordi del prisma sono paralleli, costruiamo linee rette parallele che passano per i vertici del parallelogramma costruito e poniamo su di esse segmenti uguali AA", BB', CC", DD", la cui lunghezza è arbitraria. Collegando i punti A", B", C", D in serie", otteniamo un quadrilatero A" B "C" D", raffigurante la base superiore del prisma. Non è difficile dimostrarlo A"B"C"D"- parallelogramma uguale a parallelogramma ABCD e, di conseguenza, abbiamo l'immagine di un prisma, le cui basi sono quadrati uguali, e le restanti facce sono parallelogrammi.

Se devi rappresentare un prisma dritto, le cui basi sono quadrate, puoi mostrare che i bordi laterali di questo prisma sono perpendicolari alla base, come fatto in Fig. 24.19, B.

Inoltre, il disegno in Fig. 24.19, B può essere considerato l'immagine di un prisma regolare, poiché la sua base è un quadrato - un quadrilatero regolare, e anche un parallelepipedo rettangolare, poiché tutte le sue facce sono rettangoli.

Scopriamo ora come rappresentare una piramide su un piano.

Per rappresentare una piramide regolare, disegna prima un poligono regolare che giace alla base e il suo centro è un punto DI. Quindi disegna un segmento verticale sistema operativo raffigurante l'altezza della piramide. Si noti che la verticalità del segmento sistema operativo fornisce una maggiore chiarezza del disegno. Infine il punto S è connesso a tutti i vertici della base.

Rappresentiamo, ad esempio, una piramide regolare, la cui base è un esagono regolare.

Per rappresentare correttamente un esagono regolare durante la progettazione parallela, è necessario prestare attenzione a quanto segue. Sia ABCDEF un esagono regolare. Allora ALLF è un rettangolo (Fig. 24.20) e, quindi, durante la progettazione parallela verrà rappresentato come un parallelogramma arbitrario B"C"E"F". Poiché la diagonale AD passa per il punto O, il centro del poligono ABCDEF ed è parallela ai segmenti. BC e EF e AO = OD, quindi con il disegno parallelo sarà rappresentato da un segmento arbitrario A "D" , passando per il punto DI" parallelo AVANTI CRISTO" E MI"F" e inoltre, A"O" = O"D".

Pertanto, la sequenza di costruzione della base di una piramide esagonale è la seguente (Fig. 24.21):

§ raffigurano un parallelogramma arbitrario B"C"E"F" e le sue diagonali; segnare il punto della loro intersezione O";

§ attraverso un punto DI" tracciare una linea retta parallela V'S"(O Mi"F');

§ scegliere un punto arbitrario sulla retta costruita UN" e segna il punto D" tale che O"D" = A"O" e collega il punto UN" con punti IN" E F", e punto D" - con punti CON" E E".

Per completare la costruzione della piramide, disegna un segmento verticale sistema operativo(la sua lunghezza è scelta arbitrariamente) e collega il punto S a tutti i vertici della base.

Nella proiezione parallela, la palla viene rappresentata come un cerchio dello stesso raggio. Per rendere più visiva l'immagine della palla, disegna una proiezione di un grande cerchio, il cui piano non è perpendicolare al piano di proiezione. Questa proiezione sarà un'ellisse. Il centro della palla sarà rappresentato dal centro di questa ellisse (Fig. 24.22). Ora possiamo trovare i poli corrispondenti N e S, purché il segmento che li collega sia perpendicolare al piano equatoriale. Per fare questo, attraverso il punto DI tracciare una linea retta perpendicolare AB e segna il punto C - l'intersezione di questa linea con l'ellisse; quindi attraverso il punto C tracciamo una tangente all'ellisse che rappresenta l'equatore. È stato dimostrato che la distanza CM uguale alla distanza dal centro della palla a ciascuno dei poli. Pertanto, mettendo da parte i segmenti SU E sistema operativo pari CM, otteniamo i pali N e S.

Consideriamo una delle tecniche per costruire un'ellisse (si basa su una trasformazione del piano, chiamata compressione): costruisci un cerchio con un diametro e disegna corde perpendicolari al diametro (Fig. 24.23). La metà di ciascun accordo è divisa a metà e i punti risultanti sono collegati da una curva morbida. Questa curva è un'ellisse il cui asse maggiore è il segmento AB, e il centro è un punto DI.

Questa tecnica può essere utilizzata per rappresentare su un piano un cilindro circolare rettilineo (Fig. 24.24) e un cono circolare rettilineo (Fig. 24.25).

Un cono circolare dritto è raffigurato in questo modo. Innanzitutto costruiscono un'ellisse, la base, quindi trovano il centro della base, il punto DI e traccia un segmento di linea perpendicolarmente sistema operativo che rappresenta l'altezza del cono. Dal punto S si disegnano le tangenti all'ellisse (questo si fa “a occhio”, applicando un righello) e si selezionano i segmenti SC E SD queste rette dal punto S ai punti di tangenza C e D. Tieni presente che il segmento CD non coincide con il diametro della base del cono.

1 opzione

1. Un corpo la cui superficie è costituita da un numero finito di poligoni piani si chiama:

1. Quadrilatero 2. Poligono 3. Poliedro 4. Esagono

2. I poliedri includono:

1. Parallelepipedo 2. Prisma 3. Piramide 4. Tutte le risposte sono corrette

3. Un segmento che collega due vertici di un prisma che non appartengono alla stessa faccia si chiama:

1. Diagonale 2. Bordo 3. Faccia 4. Asse

4. Il prisma ha nervature laterali:

1. Uguale 2. Simmetrico 3. Parallelo e uguale 4. Parallelo

5. Le facce di un parallelepipedo che non hanno vertici comuni si chiamano:

1. Opposto 2. Opposto 3. Simmetrico 4. Uguale

6. Una perpendicolare caduta dalla sommità della piramide al piano della base si chiama:

1. Mediana 2. Asse 3. Diagonale 4. Altezza

7. I punti che non giacciono nel piano della base della piramide sono chiamati:

1. Cime della piramide 2. Nervature laterali 3. Dimensione lineare

4. Vertici del viso

8. L'altezza della faccia laterale di una piramide regolare tracciata dal suo vertice si chiama:

1. Mediana 2. Apotema 3. Perpendicolare 4. Bisettrice

9. Il cubo ha tutte le facce:

1. Rettangoli 2. Quadrati 3. Trapezi 4. Rombi

10. Un corpo costituito da due cerchi e tutti i segmenti che collegano i punti dei cerchi è chiamato:

1. Cono 2. Sfera 3. Cilindro 4. Sfera

11. Il cilindro ha generatori:

1. Uguale 2. Parallelo 3. Simmetrico 4. Parallelo e uguale

12. Le basi del cilindro giacciono in:

1. Stesso piano 2. Piani uguali 3. Piani paralleli 4. Piani diversi

13. La superficie del cono è costituita da:

1. Generatori 2. Facce e bordi 3. Basi e bordi 4. Basi e superfici laterali

14. Un segmento che collega due punti di una superficie sferica e passante per il centro della palla è chiamato:

1. Raggio 2. Centro 3. Asse 4. Diametro

15. Ogni sezione di una palla da parte di un piano è:

1. Cerchio 2. Cerchio 3. Sfera 4. Semicerchio

16. La sezione di una palla secondo il piano diametrale si chiama:

1. Cerchio grande 2. Cerchio grande 3. Cerchio piccolo 4. Cerchio

17. Il cerchio di un cono si chiama:

1. Parte superiore 2. Piano 3. Faccia 4. Base

18. Basi del prisma:

1. Parallelo 2. Uguale 3. Perpendicolare 4. Non uguale

19. La superficie laterale del prisma è chiamata:

1. Somma delle aree dei poligoni laterali

2. Somma delle aree delle nervature laterali

3. Somma delle aree delle facce laterali

4. Somma delle superfici di base

20. L'intersezione delle diagonali di un parallelepipedo è la sua:

1. Centro 2. Centro di simmetria 3. Quota lineare 4. Punto di sezione

21. Il raggio della base del cilindro è 1,5 cm, l'altezza è 4 cm. Trova la diagonale della sezione assiale.

1.4.2 cm.2.10 cm.3.5 cm.

0 . Qual è il diametro della base se la generatrice è 7 cm?

1,7 cm.2,14 cm.3,3,5 cm.

23. L'altezza del cilindro è 8 cm, il raggio è 1 cm Trova l'area della sezione assiale.

1,9 cm 2 . 2,8 cm 2 3,16 cm 2 .

24. I raggi delle basi di un tronco di cono sono 15 cm e 12 cm, l'altezza 4 cm Qual è la generatrice del cono?

1,5 cm2,4 cm3,10 cm

POLIEDRI E CORPI DI ROTAZIONE

opzione 2

1. I vertici del poliedro sono designati:

1. a, b, c, D... 2. A, B, C, D ... 3. ab, CD, AC, anno Domini...4. AB, SV, A D, CD...

2. Un poliedro costituito da due poligoni piatti combinati mediante traslazione parallela è chiamato:

1. Piramide 2. Prisma 3. Cilindro 4. Parallelepipedo

3. Se i bordi laterali del prisma sono perpendicolari alla base, allora il prisma è:

1. Obliquo 2. Regolare 3. Dritto 4. Convesso

4. Se un parallelogramma si trova alla base di un prisma, allora è:

1. Prisma regolare 2. Parallelepipedo 3. Poligono regolare

4. Piramide

5. Un poliedro, costituito da un poligono piatto, un punto e segmenti che li collegano, si chiama:

1. Cono 2. Piramide 3. Prisma 4. Sfera

6. I segmenti che collegano la sommità della piramide con i vertici della base sono chiamati:

1. Bordi 2. Lati 3. Bordi laterali 4. Diagonali

7. Una piramide triangolare si chiama:

1. Piramide regolare 2. Tetraedro 3. Piramide triangolare 4. Piramide inclinata

8. Quanto segue non si applica ai poliedri regolari:

1. Cubo 2. Tetraedro 3. Icosaedro 4. Piramide

9. L'altezza della piramide è:

1. Asse 2. Mediana 3. Perpendicolare 4. Apotema

10. I segmenti che collegano i punti delle circonferenze dei cerchi si chiamano:

1. Facce del cilindro 2. Generi del cilindro 3. Altezze del cilindro

4. Perpendicolari del cilindro

1. Asse del cilindro 2. Altezza del cilindro 3. Raggio del cilindro

4. Nervatura del cilindro

12. Un corpo costituito da un punto, un cerchio e segmenti che li collegano è chiamato:

1. Piramide 2. Cono 3. Sfera 4. Cilindro

13. Un corpo costituito da tutti i punti nello spazio è chiamato:

1. Sfera 2. Sfera 3. Cilindro 4. Emisfero

14. Il confine della palla è chiamato:

1. Sfera 2. Palla 3. Sezione 4. Cerchio

15. La linea di intersezione di due sfere è:

1. Cerchio 2. Semicerchio 3. Cerchio 4. Sezione

16. La sezione di una sfera si chiama:

1. Cerchio 2. Cerchio grande 3. Cerchio piccolo 4. Cerchio piccolo

17. Le facce di un poliedro convesso sono convesse:

1. Triangoli 2. Angoli 3. Poligoni 4. Esagoni

18. La superficie laterale del prisma è costituita da...

1. Parallelogrammi 2. Quadrati 3. Diamanti 4. Triangoli

19. La superficie laterale di un prisma diritto è uguale a:

1. Prodotto del perimetro e della lunghezza della faccia del prisma

2. Il prodotto della lunghezza della faccia del prisma e della base

3. Prodotto della lunghezza della faccia del prisma e dell'altezza

4. Prodotto del perimetro della base e dell'altezza del prisma

20. I poliedri regolari includono:

21. Il raggio della base del cilindro è 2,5 cm, l'altezza è 12 cm. Trova la diagonale della sezione assiale.

1,15 cm; 2,14 cm; 3,13 cm.

22. L'angolo maggiore tra le generatrici del cono è 60 0 . Qual è il diametro della base se la generatrice è 5 cm?

1,5 cm; 2,10 cm; 3,2,5 cm.

23. L'altezza del cilindro è 4 cm, il raggio è 1 cm Trova l'area della sezione assiale.

1,9 cm 2 . 2,8 cm 2 3,16 cm 2 .

24. I raggi delle basi di un tronco di cono sono 6 cm e 12 cm, l'altezza 8 cm Qual è la generatrice del cono?

1,10 cm; 2,4 cm; 3,6 cm.

Corpi geometrici

introduzione

Nella stereometria vengono studiate le figure nello spazio, che vengono chiamate corpi geometrici.

Gli oggetti intorno a noi ci danno un'idea di corpi geometrici. A differenza degli oggetti reali, i corpi geometrici sono oggetti immaginari. Chiaramente corpo geometrico bisogna immaginarlo come una parte di spazio occupata dalla materia (argilla, legno, metallo,...) e limitata da una superficie.

Tutti i corpi geometrici sono divisi in poliedri E corpi rotondi.

Poliedri

Poliedroè un corpo geometrico la cui superficie è costituita da un numero finito di poligoni piatti.

Bordi poliedro, vengono chiamati i poligoni che compongono la sua superficie.

Costolette di un poliedro si chiamano i lati delle facce del poliedro.

Picchi di un poliedro si chiamano vertici delle facce del poliedro.

I poliedri sono divisi in convesso E non convesso.

Il poliedro si chiama convesso, se giace interamente su un lato di una qualsiasi delle sue facce.

Esercizio. Specificare bordi, costolette E picchi cubo mostrato in figura.

I poliedri convessi sono divisi in prismi E piramidi.

Prisma

Prismaè un poliedro con due facce uguali e parallele
N-gons e il resto N le facce sono parallelogrammi.

Due N-gons vengono chiamati basi prismatiche, parallelogrammi – facce laterali. I lati delle facce laterali e delle basi sono chiamati nervature prismatiche, vengono chiamate le estremità degli spigoli i vertici del prisma. I bordi laterali sono bordi che non appartengono alle basi.

I poligoni A 1 A 2 ...A n e B 1 B 2 ...B n sono le basi del prisma.

Parallelogrammi A 1 A 2 B 2 B 1, ... - facce laterali.

Proprietà del prisma:

· Le basi del prisma sono uguali e parallele.

· I bordi laterali del prisma sono uguali e paralleli.

Diagonale del prisma chiamato segmento che collega due vertici che non appartengono alla stessa faccia.

Altezza del prisma si chiama perpendicolare portata da un punto della base superiore al piano della base inferiore.

Un prisma si chiama 3-gonale, 4-gonale, ..., N-carbone, se la sua base
3-gon, 4-gon, ..., N-gon.

Prisma diretto chiamato prisma le cui nervature laterali sono perpendicolari alle basi. Le facce laterali di un prisma rettilineo sono rettangoli.

Prisma inclinato chiamato prisma che non è diritto. Le facce laterali di un prisma inclinato sono parallelogrammi.

Con il prisma giusto chiamato Dritto un prisma con alla base poligoni regolari.

La zona tutta la superficie prismi si chiama somma delle aree di tutte le sue facce.

La zona superficie laterale prismiè detta somma delle aree delle sue facce laterali.

S pieno = S lato + 2 S di base

Poliedro

• Poliedro- questo è un corpo la cui superficie è costituita da un numero finito di poligoni piatti.

Il poliedro si chiama convesso

• Il poliedro si chiama convesso ,se si trova su un lato di ciascun poligono piatto sulla sua superficie.

• Euclide (presumibilmente 330-277 a.C.) - matematico della scuola alessandrina dell'antica Grecia, autore del primo trattato di matematica giunto fino a noi, “Elementi” (in 15 libri)

facce laterali.

• Un prisma è un poliedro, costituito da due poligoni piatti che giacciono su piani diversi e combinati mediante traslazione parallela, e da tutti i segmenti che collegano i punti corrispondenti di questi poligoni. I poligoni Ф e Ф1 che giacciono su piani paralleli sono chiamati basi prismatiche e le restanti facce sono chiamate facce laterali.

• La superficie del prisma è quindi costituita da due poligoni uguali (basi) e parallelogrammi (facce laterali). Esistono prismi triangolari, quadrangolari, pentagonali, ecc. a seconda del numero di vertici della base.

• Se il bordo laterale di un prisma è perpendicolare al piano della sua base, si chiama prisma Dritto ; se il bordo laterale del prisma non è perpendicolare al piano della sua base, viene chiamato tale prisma inclinato . Un prisma rettilineo ha le facce laterali rettangolari.

Le basi del prisma sono uguali.

• Le basi del prisma sono uguali.

• Le basi di un prisma giacciono su piani paralleli.

• I bordi laterali di un prisma sono paralleli e uguali.

• L'altezza di un prisma è la distanza tra i piani delle sue basi.

• Si scopre che un prisma può essere non solo un corpo geometrico, ma anche capolavoro artistico... È stato il prisma a diventare la base per i dipinti di Picasso, Braque, Griss, ecc.

• Si scopre che un fiocco di neve può assumere la forma di un prisma esagonale, ma ciò dipenderà dalla temperatura dell'aria.

• Nel 3 ° secolo aC. e. fu costruito un faro in modo che le navi potessero oltrepassare in sicurezza le barriere coralline nel loro cammino verso la baia di Alexandria. Di notte erano aiutati in questo dal riflesso delle fiamme e di giorno da una colonna di fumo. È stato il primo faro del mondo ed è rimasto in piedi per 1.500 anni.

• Il faro fu costruito sulla piccola isola di Pharos nel Mar Mediterraneo, al largo della costa di Alessandria. Ci vollero 20 anni per costruirlo e fu completato intorno al 280 a.C.

• Nel XIV secolo il faro fu distrutto da un terremoto. I suoi detriti furono utilizzati nella costruzione di un forte militare. Il forte è stato ricostruito più volte e si trova ancora sul sito del primo faro del mondo.

Mausolo era il sovrano della Caria. La capitale della regione era Alicarnasso. Mausolo sposò sua sorella Artemisia. Decise di costruire una tomba per sé e per la sua regina. Mavsol sognava un maestoso monumento che ricordasse al mondo la sua ricchezza e il suo potere. Morì prima che i lavori sulla tomba fossero completati. Artemisia continuò a dirigere la costruzione. La tomba fu costruita nel 350 a.C. e. È stato chiamato Mausoleo in onore del re.

Le ceneri della coppia reale erano conservate in urne d'oro in una tomba alla base dell'edificio. Una fila di leoni di pietra sorvegliava questa stanza. La struttura stessa somigliava a un tempio greco, circondato da colonne e statue. In cima all'edificio c'era una piramide a gradoni. Ad un'altezza di 43 m dal suolo, era coronato dalla scultura di un carro trainato da cavalli. Probabilmente c'erano le statue del re e della regina.

• Diciotto secoli dopo, un terremoto rase al suolo il Mausoleo. Passarono altri trecento anni prima che gli archeologi iniziassero gli scavi. Nel 1857 tutti i reperti furono trasportati al British Museum di Londra. Ora, nel luogo dove un tempo si trovava il Mausoleo, rimangono solo una manciata di pietre.

cristalli.

Non ci sono solo forme geometriche create dalle mani dell'uomo. Ce ne sono molte nella natura stessa. L'impatto sull'aspetto della superficie terrestre di fattori naturali come il vento, l'acqua, la luce solare è molto spontaneo e caotico. Tuttavia, le dune di sabbia, ciottoli sulla riva del mare, Il cratere di un vulcano spento, di regola, ha forme geometricamente regolari. A volte nel terreno si trovano pietre di tale forma, come se qualcuno le avesse accuratamente ritagliate, macinate e lucidate. Questo È - cristalli.

parallelepipedo.

• Se la base del prisma è un parallelogramma, allora si chiama parallelepipedo.

• I modelli di parallelepipedo rettangolare sono:

• Cella frigorifera

• Si scopre che i cristalli di calcite, non importa quanto siano frantumati in parti più piccole, si scompongono sempre in frammenti a forma di parallelepipedo.

• Gli edifici urbani hanno spesso la forma di poliedri, di solito si tratta di normali parallelepipedi e solo soluzioni architettoniche inaspettate decorano le città.

• 1. Un prisma è regolare se i suoi bordi sono uguali?

• a) sì; c) n. Giustifica la tua risposta.

• 2. L'altezza di un prisma triangolare regolare è 6 cm. Il lato della base è 4 cm. Trova la superficie totale di questo prisma.

• 3. Le aree delle due facce laterali di un prisma triangolare inclinato sono 40 e 30 cm2. L'angolo tra queste facce è dritto. Trova la superficie laterale del prisma.

• 4. Nel parallelepipedo ABCDA1B1C1D1 sono disegnate le sezioni A1BC e CB1D1. In quale rapporto questi piani dividono la diagonale AC1?

• 1) un tetraedro con 4 facce, 4 vertici, 6 spigoli;

• 2) cubo - 6 facce, 8 vertici, 12 spigoli;

• 3) ottaedro - 8 facce, 6 vertici, 12 bordi;

• 4) dodecaedro - 12 facce, 20 vertici, 30 spigoli;

• 5) icosaedro: 20 facce, 12 vertici, 30 bordi.

Talete di Mileto, fondatore Ionico Pitagora di Samo

Scienziati e filosofi dell'antica Grecia adottarono e rielaborarono le conquiste della cultura e della scienza dell'Antico Oriente. Talete, Pitagora, Democrito, Eudosso e altri si recarono in Egitto e Babilonia per studiare musica, matematica e astronomia. Non è un caso che al nome siano associati gli inizi della scienza geometrica greca Talete di Mileto, fondatore Ionico scuole. Gli Ioni, che abitavano il territorio che confinava con i paesi orientali, furono i primi a prendere in prestito la conoscenza dell'Oriente e iniziarono a svilupparla. Gli scienziati della scuola ionica furono i primi a sottoporre all'elaborazione logica e a sistematizzare le informazioni matematiche prese in prestito dagli antichi popoli orientali, in particolare dai babilonesi. Proclo e altri storici attribuiscono molte scoperte geometriche a Talete, il capo di questa scuola. A proposito di atteggiamento Pitagora di Samo alla geometria, Proclo scrive nel suo commento agli Elementi di Euclide: “Studiò questa scienza (cioè la geometria), cominciando dai suoi primi fondamenti, e cercò di ottenere teoremi utilizzando il pensiero puramente logico”. Proclo attribuisce a Pitagora, oltre al noto teorema sul quadrato dell'ipotenusa, la costruzione di cinque poliedri regolari:

I solidi di Platone

I solidi di Platone sono poliedri convessi, le cui facce sono tutte poligoni regolari. Tutti gli angoli poliedrici di un poliedro regolare sono congruenti. Come risulta dal calcolo della somma degli angoli piani in un vertice, non ci sono più di cinque poliedri regolari convessi. Utilizzando il metodo indicato di seguito, si può dimostrare che esistono esattamente cinque poliedri regolari (questo è stato dimostrato da Euclide). Sono il tetraedro regolare, il cubo, l'ottaedro, il dodecaedro e l'icosaedro.

Ottaedro (Fig. 3).

• Ottaedro -ottaedro; un corpo delimitato da otto triangoli; un ottaedro regolare è delimitato da otto triangoli equilateri; uno dei cinque poliedri regolari. (Fig. 3).

• Dodecaedro -dodecaedro, corpo delimitato da dodici poligoni; pentagono regolare; uno dei cinque poliedri regolari . (Fig. 4).

• Icosaedro -ventiedro, un corpo delimitato da venti poligoni; l'icosaedro regolare è limitato da venti triangoli equilateri; uno dei cinque poliedri regolari. (Fig. 5).

Le facce del dodecaedro sono pentagoni regolari. Le diagonali di un pentagono regolare formano il cosiddetto pentagono stellato, una figura che fungeva da emblema, un segno di identificazione per gli studenti di Pitagora. È noto che la Lega Pitagorica era allo stesso tempo una scuola filosofica, un partito politico e una confraternita religiosa. Secondo la leggenda, un pitagorico si ammalò in terra straniera e non poté pagare il proprietario della casa che si prese cura di lui prima della sua morte. Quest'ultimo dipinse sul muro della sua casa un pentagono a forma di stella. Vedendo questo segno alcuni anni dopo, un altro pitagorico errante chiese al proprietario cosa fosse successo e lo ricompensò generosamente.

• Informazioni affidabili sulla vita e sulle attività scientifiche di Pitagora non sono state conservate. A lui viene attribuita la creazione della dottrina della somiglianza delle figure. Probabilmente fu tra i primi scienziati a considerare la geometria non come una disciplina pratica e applicata, ma come una scienza logica astratta.

La scuola di Pitagora scoprì l'esistenza delle quantità incommensurabili, cioè di quelle il cui rapporto non può essere espresso da nessun numero intero o frazionario. Un esempio è il rapporto tra la lunghezza della diagonale di un quadrato e la lunghezza del suo lato, pari a C2. Questo numero non è razionale (cioè un numero intero o un rapporto tra due numeri interi) ed è chiamato irrazionale, cioè irrazionale (dal latino ratio - atteggiamento).

Tetraedro (Fig. 1).

• Tetraedro -tetraedro, le cui facce sono tutte triangoli, cioè piramide triangolare; un tetraedro regolare è delimitato da quattro triangoli equilateri; uno dei cinque poligoni regolari. (Fig. 1).

• Cubo o esaedro regolare (Fig. 2).

Tetraedro -tetraedro, le cui facce sono tutte triangoli, cioè piramide triangolare; un tetraedro regolare è delimitato da quattro triangoli equilateri; uno dei cinque poligoni regolari. (Fig. 1).

• Tetraedro -tetraedro, le cui facce sono tutte triangoli, cioè piramide triangolare; un tetraedro regolare è delimitato da quattro triangoli equilateri; uno dei cinque poligoni regolari. (Fig. 1).

• Cubo o esaedro regolare - un prisma quadrangolare regolare con bordi uguali, limitato da sei quadrati. (Fig. 2).

Piramide

• Piramide- un poliedro, che consiste in un poligono piatto - la base della piramide, i punti che non giacciono nel piano della base-cima della piramide e tutti i segmenti che collegano la cima della piramide con i punti della base

L'immagine mostra una piramide pentagonale SABCDE e il suo sviluppo. Si chiamano triangoli che hanno un vertice in comune facce laterali piramidi; vertice comune delle facce laterali - superiore piramidi; è un poligono a cui questo vertice non appartiene base piramidi; gli spigoli della piramide convergono al suo apice - nervature laterali piramidi. Altezza La piramide è un segmento perpendicolare tracciato attraverso la sua sommità fino al piano di base, con le estremità in alto e sul piano di base della piramide. Nella figura c'è un segmento COSÌ- altezza della piramide.

• Definizione . Si dice regolare una piramide la cui base è un poligono regolare e il cui vertice è proiettato nel suo centro.

• La figura mostra una piramide esagonale regolare.

I volumi dei granai e di altre strutture sotto forma di cubi, prismi e cilindri venivano calcolati dagli egiziani e dai babilonesi, dai cinesi e dagli indiani moltiplicando l'area di base per l'altezza. Tuttavia, l'antico Oriente conosceva principalmente solo alcune regole, trovate sperimentalmente, che servivano a trovare volumi per le aree delle figure. In un secondo momento, quando la geometria si formò come scienza, fu trovato un approccio generale al calcolo dei volumi dei poliedri.

• Tra i notevoli scienziati greci dei secoli V - IV. aC, che svilupparono la teoria dei volumi furono Democrito di Abdera ed Eudosso di Cnido.

• Euclide non usa il termine "volume". Per lui, ad esempio, il termine “cubo” significa anche il volume di un cubo. Nel Libro XI dei "Principi" vengono presentati, tra gli altri, i seguenti teoremi.

• 1. I parallelepipedi con altezza uguale e base uguale hanno la stessa dimensione.

• 2. Il rapporto tra i volumi di due parallelepipedi di uguale altezza è uguale al rapporto tra le aree delle loro basi.

• 3. Nei parallelepipedi di uguale area le aree delle basi sono inversamente proporzionali alle altezze.

• I teoremi di Euclide riguardano solo il confronto dei volumi, poiché Euclide probabilmente considerava il calcolo diretto dei volumi dei corpi una questione di manuali pratici di geometria. Nelle opere applicate di Erone d'Alessandria ci sono regole per il calcolo del volume di un cubo, prisma, parallelepipedo e altre figure spaziali.

• Un prisma la cui base è un parallelogramma si chiama parallelepipedo.

• Secondo la definizione un parallelepipedo è un prisma quadrangolare, le cui facce sono tutte parallelogrammi. I parallelepipedi, come i prismi, possono esserlo Dritto E inclinato. La Figura 1 mostra un parallelepipedo inclinato e la Figura 2 mostra un parallelepipedo dritto.

• Un parallelepipedo retto la cui base è un rettangolo si chiama parallelepipedo rettangolare. Tutte le facce di un parallelepipedo rettangolare sono rettangoli. I modelli di parallelepipedo rettangolare sono un'aula, un mattone e una scatola di fiammiferi.

• Si chiamano le lunghezze di tre spigoli di un parallelepipedo rettangolare aventi un'estremità comune misurazioni. Ad esempio, ci sono scatole di fiammiferi con dimensioni di 15, 35, 50 mm. Un cubo è un parallelepipedo rettangolare di uguali dimensioni. Tutte e sei le facce del cubo sono quadrati uguali.

• Consideriamo alcune proprietà di un parallelepipedo.

• Teorema. Il parallelepipedo è simmetrico rispetto al centro della sua diagonale.

• Ne consegue direttamente dal teorema proprietà importanti di un parallelepipedo:

• 1. Qualsiasi segmento i cui estremi appartengono alla superficie del parallelepipedo e passanti per il centro della sua diagonale è da esso diviso a metà; in particolare, tutte le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in un punto e sono da esso secate in due. 2. Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e uguali