Літерний вираз (або вираз зі змінними) - це математичний вираз, який складається з чисел, літер та знаків математичних операцій. Наприклад, такий вираз є буквеним:

a + b + 4

За допомогою літерних виразів можна записувати закони, формули, рівняння та функції. Вміння маніпулювати літерними виразами - запорука гарного знання алгебри та вищої математики.

Будь-яке серйозне завдання з математики зводиться до розв'язання рівнянь. А щоб уміти розв'язувати рівняння, треба вміти працювати з літерними виразами.

Щоб працювати з літерними виразами, потрібно добре вивчити базову арифметику: додавання, віднімання, множення, поділ, основні закони математики, дроби, дії з дробами, пропорції. І не просто вивчити, а зрозуміти досконало.

Зміст уроку

Змінні

Літери, які містяться в буквених виразах, називаються змінними. Наприклад, у виразі a +b + 4 змінними є літери aі b. Якщо замість цих змінних підставити будь-які числа, то літерний вираз a +b + 4 звернеться до числового виразу, значення якого можна буде знайти.

Числа, які підставляють замість змінних називають значеннями змінних. Наприклад, змінимо значення змінних aі b. Для зміни значень використовується знак рівності

a = 2, b = 3

Ми змінили значення змінних aі b. Змінною aнадали значення 2 , змінною bнадали значення 3 . В результаті буквене вираз a+b+4звертається у звичайне числове вираз 2+3+4 значення якого можна знайти:

Коли відбувається множення змінних, вони записуються разом. Наприклад, запис abозначає те саме, що і запис a × b. Якщо підставити замість змінних aі bчисла 2 і 3 , то ми отримаємо 6

Також можна записати множення числа на вираз у дужках. Наприклад, замість a×(b + c)можна записати a(b + c). Застосувавши розподільчий закон множення, отримаємо a(b + c)=ab+ac.

Коефіцієнти

У літерних виразах часто можна зустріти запис, в якому число та змінна записані разом, наприклад 3a. Насправді, це короткий запис множення числа 3 на змінну aі цей запис виглядає як 3 × a .

Іншими словами, вираз 3aє твором числа 3 та змінної a. Число 3 у цьому творі називають коефіцієнтом. Цей коефіцієнт показує у скільки разів буде збільшено змінну a. Цей вираз можна прочитати як « aтричі» або «тричі а", або" збільшити значення змінної aвтричі», але найчастіше читається як «три a«

Наприклад, якщо змінна aдорівнює 5 , то значення виразу 3aдорівнюватиме 15.

3 × 5 = 15

Говорячи простою мовою, коефіцієнт це число, яке стоїть перед буквою (перед змінною).

Букв може бути кілька, наприклад 5abc. Тут коефіцієнтом є число 5 . Цей коефіцієнт показує, що добуток змінних abcзбільшується вп'ятеро. Цей вираз можна прочитати як « abcп'ять разів» або «збільшити значення виразу abcу п'ять разів», або «п'ять abc «.

Якщо замість змінних abcпідставити числа 2, 3 і 4, то значення виразу 5abcбуде одно 120

5×2×3×4 = 120

Можна уявити, як спочатку перемножилися числа 2, 3 і 4, і отримане значення збільшилося в п'ять разів:

Знак коефіцієнта належить лише коефіцієнту, і належить до змінним.

Розглянемо вираз −6b. Мінус, що стоїть перед коефіцієнтом 6 , відноситься тільки до коефіцієнта 6 , і не відноситься до змінної b. Розуміння цього факту дозволить не помилятися у майбутньому зі знаками.

Знайдемо значення виразу −6bпри b = 3.

−6b −6×b. Для наочності запишемо вираз −6bу розгорнутому вигляді та підставимо значення змінної b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

приклад 2.Знайти значення виразу −6bпри b = −5

Запишемо вираз −6bу розгорнутому вигляді

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

приклад 3.Знайти значення виразу −5a + bпри a = 3і b = 2

−5a + bце коротка форма запису від −5 × a + bтому для наочності запишемо вираз −5×a+bу розгорнутому вигляді і підставимо значення змінних aі b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Іноді літери записані без коефіцієнта, наприклад aабо ab. У цьому випадку коефіцієнтом є одиниця:

але одиницю за традицією не записують, тому просто пишуть aабо ab

Якщо перед літерою стоїть мінус, то коефіцієнтом є число −1 . Наприклад, вираз −aнасправді виглядає як −1a. Це твір мінус одиниці та змінної a.Воно вийшло так:

−1 × a = −1a

Тут криється невелика каверза. У виразі −aмінус, що стоїть перед змінною aнасправді належить до «невидимої одиниці», а не до змінної a. Тому під час вирішення завдань слід бути уважним.

Наприклад, якщо дано вираз −aі нас просять знайти його значення при a = 2, то в школі ми підставляли двійку замість змінної aі отримували відповідь −2 , не особливо зациклюючись на тому, як це виходило. Насправді відбувалося збільшення мінус одиниці на позитивне число 2

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Якщо дано вираз −aі потрібно знайти його значення при a = −2, то ми підставляємо −2 замість змінної a

−a = −1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Щоб не допускати помилок, спочатку невидимі одиниці можна записувати явно.

приклад 4.Знайти значення виразу abcпри a=2 , b=3і c=4

Вираз abc 1×a×b×c.Для наочності запишемо вираз abc a, bі c

1 × a × b × c = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

Приклад 5.Знайти значення виразу abcпри a=−2 , b=−3і c=−4

Запишемо вираз abcу розгорнутому вигляді і підставимо значення змінних a, bі c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Приклад 6.Знайти значення виразу − abcпри a=3 , b=5 та c=7

Вираз − abcце коротка форма запису від −1×a×b×c.Для наочності запишемо вираз − abcу розгорнутому вигляді і підставимо значення змінних a, bі c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Приклад 7.Знайти значення виразу − abcпри a=−2 , b=−4 та c=−3

Запишемо вираз − abcу розгорнутому вигляді:

−abc = −1 × a × b × c

Підставимо значення змінних a , bі c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Як визначити коефіцієнт

Іноді потрібно вирішити завдання, у якому потрібно визначити коефіцієнт вираження. У принципі, це завдання дуже просте. Достатньо вміти правильно множити числа.

Щоб визначити коефіцієнт у виразі, потрібно окремо перемножити числа, що входять до цього виразу, та окремо перемножити літери. Чисельний співмножник, що вийшов, і буде коефіцієнтом.

приклад 1. 7m×5a×(−3)×n

Вираз складається з кількох співмножників. Це можна чітко побачити, якщо записати вираз у розгорнутому вигляді. Тобто твори 7mі 5aзаписати у вигляді 7×mі 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Застосуємо поєднаний закон множення, який дозволяє перемножувати співмножники у будь-якому порядку. А саме, окремо перемножимо числа та окремо перемножимо букви (змінні):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105man

Коефіцієнт дорівнює −105 . Після завершення літерну частину бажано розташувати в алфавітному порядку:

−105amn

приклад 2.Визначити коефіцієнт у виразі: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Коефіцієнт дорівнює 6.

приклад 3.Визначити коефіцієнт у виразі:

Перемножимо окремо числа та літери:

Коефіцієнт дорівнює -1. Зверніть увагу, що одиниця не записана, оскільки коефіцієнт 1 прийнято не записувати.

Ці здавалося б найпростіші завдання можуть зіграти з нами дуже злий жарт. Часто з'ясовується, що знак коефіцієнта поставлено неправильно: або пропущено мінус або навпаки поставлено дарма. Щоб уникнути цих прикру помилок, повинна бути вивчена на хорошому рівні.

Доданки в буквених виразах

При додаванні кількох чисел виходить сума цих чисел. Числа, які складають називають доданками. Доданків може бути кілька, наприклад:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Коли вираз складається із доданків, обчислювати його набагато простіше, оскільки складати легше, ніж віднімати. Але у виразі може бути не тільки додавання, але й віднімання, наприклад:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

У цьому виразі числа 3 і 5 є віднімаються, а не доданками. Але нам нічого не заважає, замінити віднімання додаванням. Тоді ми знову отримаємо вираз, що складається з доданків:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Не має значення, що числа −3 і −5 тепер зі знаком мінуса. Головне, що всі числа в даному виразі пов'язані знаком додавання, тобто вираз є сумою.

Обидва вирази 1 + 2 − 3 + 4 − 5 і 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) рівні одному й тому значенню - мінус одиниці

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Таким чином, значення виразу не постраждає від того, що ми десь замінимо віднімання додаванням.

Замінювати віднімання додаванням можна і в буквених виразах. Наприклад, розглянемо такий вираз:

7a + 6b − 3c + 2d − 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

За будь-яких змінних змін a, b, c, dі sвирази 7a + 6b − 3c + 2d − 4s і 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) будуть рівні одному й тому самому значенню.

Ви повинні бути готові до того, що вчитель у школі або викладач в інституті може називати доданками навіть ті числа (або змінні), які не є ними.

Наприклад, якщо на дошці буде записано різницю a − b, то вчитель не буде говорити, що a- це зменшуване, а b- Віднімається. Обидві змінні він назве одним загальним словом. доданки. А все тому, що вираз виду a − bматематик бачить як суму a + (−b). У такому разі вираз стає сумою, а змінні aі (−b)стають доданками.

Подібні доданки

Подібні доданки— це доданки, які мають однакову літерну частину. Наприклад, розглянемо вираз 7a + 6b + 2a. доданки 7aі 2aмають однакову буквену частину - змінну a. Значить доданки 7aі 2aє подібними.

Зазвичай подібні доданки складають, щоб спростити вираз або вирішити якесь рівняння. Цю операцію називають приведенням подібних доданків.

Щоб навести подібні доданки, потрібно скласти коефіцієнти цих доданків, і отриманий результат помножити на загальну літерну частину.

Наприклад наведемо подібні доданки у виразі 3a + 4a + 5a. У цьому випадку подібними є всі доданки. Складемо їх коефіцієнти і результат помножимо на загальну буквену частину - на змінну a

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Подібні доданки зазвичай наводять в думці і результат записують відразу:

3a + 4a + 5a = 12a

Також, можна міркувати так:

Було 3 змінні a до них додали ще 4 змінні a і ще 5 змінних a. У результаті отримали 12 змінних a

Розглянемо кілька прикладів для приведення подібних доданків. Враховуючи, що дана тема дуже важлива, спочатку записуватимемо докладно кожну дрібницю. Незважаючи на те, що тут все дуже просто, більшість людей припускаються безлічі помилок. Здебільшого через неуважність, а не через незнання.

приклад 1. 3a + 2a + 6a + 8a

Складемо коефіцієнти в даному виразі та отриманий результат помножимо на загальну буквену частину:

3a + 2a + 6a + 8a=(3 + 2 + 6 + 8)× a = 19a

Конструкцію (3+2+6+8) × aможна не записувати, тому одразу запишемо відповідь

3 a + 2 a + 6 a + 8 a = 19 a

приклад 2.Навести подібні доданки у виразі 2a + a

Другий доданок aзаписано без коефіцієнта, але насправді перед ним стоїть коефіцієнт 1 , який ми не бачимо через те, що його не записують. Отже, вираз виглядає так:

2a + 1a

Тепер наведемо подібні доданки. Тобто складемо коефіцієнти і результат помножимо на загальну буквену частину:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Запишемо рішення коротше:

2a + a = 3a

2a+a, Можна міркувати і по-іншому:

приклад 3.Навести подібні доданки у виразі 2a − a

Замінимо віднімання додаванням:

2a + (−a)

Другий доданок (−a)записано без коефіцієнта, але насправді воно виглядає як (−1a).Коефіцієнт −1 знову ж таки невидимий через те, що його не записують. Отже, вираз виглядає так:

2a + (−1a)

Тепер наведемо подібні доданки. Складемо коефіцієнти і результат помножимо на загальну буквену частину:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Зазвичай записують коротше:

2a − a = a

Наводячи подібні доданки у виразі 2a−aможна міркувати і по-іншому:

Було 2 змінні a, відняли одну змінну a, в результаті залишилася одна єдина змінна a

приклад 4.Навести подібні доданки у виразі 6a − 3a + 4a − 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Тепер наведемо подібні доданки. Складемо коефіцієнти і результат помножимо на загальну буквену частину

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Запишемо рішення коротше:

6a − 3a + 4a − 8a = −a

Зустрічаються вирази, які містять кілька різних груп подібних доданків. Наприклад, 3a + 3b + 7a + 2b. Для таких виразів справедливі самі правила, як і інших, саме складання коефіцієнтів і множення отриманого результату загальну буквенную часть. Але щоб не допустити помилок, зручно різні групи доданків підкреслити різними лініями.

Наприклад, у виразі 3a + 3b + 7a + 2bті доданки, які містять змінну a, можна підкреслити однією лінією, а ті доданки, які містять змінну b, можна підкреслити двома лініями:

Тепер можна навести подібні доданки. Тобто скласти коефіцієнти та отриманий результат помножити на загальну літерну частину. Зробити це потрібно для обох груп доданків: для доданків, що містять змінну aі для доданків, що містять змінну b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Знову ж таки повторимося, вираз нескладний, і подібні доданки можна приводити в думці:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Приклад 5.Навести подібні доданки у виразі 5a − 6a −7b + b

Замінимо віднімання додавання там, де це можна:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Підкреслимо подібні доданки різними лініями. Доданки, що містять змінні aпідкреслимо однією лінією, а складові, що містять змінні b, підкреслимо двома лініями:

Тепер можна навести подібні доданки. Тобто скласти коефіцієнти та отриманий результат помножити на загальну буквену частину:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Якщо виразі містяться звичайні числа без буквених співмножників, всі вони складаються окремо.

Приклад 6.Навести подібні доданки у виразі 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Замінимо віднімання додаванням там, де це можна:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Наведемо подібні доданки. Числа −5 і 7 не мають буквених співмножників, але вони є подібними доданками - їх необхідно просто скласти. А доданок 2bзалишиться без змін, оскільки воно єдине в даному виразі, що має буквений співмножник b,і його нема з чим складати:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Запишемо рішення коротше:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Доданки можна впорядковувати, щоб ті доданки, які мають однакову літерну частину, розташовувалися в одній частині виразу.

Приклад 7.Навести подібні доданки у виразі 5t+2x+3x+5t+x

Оскільки вираз є сумою з кількох доданків, це дозволяє нам обчислювати їх у будь-якому порядку. Тому доданки, що містять змінну t, можна записати на початку виразу, а доданки, що містять змінну xв кінці виразу:

5t + 5t + 2x + 3x + x

Тепер можна навести такі складові:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Запишемо рішення коротше:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Сума протилежних чисел дорівнює нулю. Це правило працює і для буквених виразів. Якщо у виразі зустрінуться однакові доданки, але з протилежними знаками, то їх можна позбутися на етапі приведення подібних доданків. Іншими словами, просто викреслити їх з виразу, оскільки їхня сума дорівнює нулю.

Приклад 8.Навести подібні доданки у виразі 3t − 4t − 3t + 2t

Замінимо віднімання додаванням там, де це можна:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

доданки 3tі (−3t)є протилежними. Сума протилежних доданків дорівнює нулю. Якщо вилучити цей нуль з виразу, то значення виразу не зміниться, тому ми його і приберемо. А приберемо ми його звичайним викреслюванням доданків 3tі (−3t)

У результаті у нас залишиться вираз (−4t) + 2t. У цьому виразі можна навести подібні доданки та отримати остаточну відповідь:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Запишемо рішення коротше:

Спрощення виразів

«спростіть вираз» і далі наводиться вираз, який потрібно спростити. Спростити вираззначить зробити його простіше та коротше.

Насправді ми займалися спрощенням виразів, коли скорочували дроби. Після скорочення дріб ставав коротшим і простіше для сприйняття.

Розглянемо такий приклад. Спростити вираз.

Це завдання буквально можна зрозуміти так: "Застосуйте до цього виразу будь-які допустимі дії, але зробіть його простіше" .

В даному випадку можна здійснити скорочення дробу, а саме розділити чисельник і знаменник дробу на 2:

Що ще можна зробити? Можна обчислити отриманий дріб. Тоді ми отримаємо десятковий дріб 0,5

У результаті дріб спростився до 0,5.

Перше питання, яке потрібно собі ставити при вирішенні подібних завдань, має бути "А що можна зробити?" . Тому що є дії, які можна робити, і є дії, які робити не можна.

Ще один важливий момент, про який потрібно пам'ятати, полягає в тому, що значення вираз не має змінитись після спрощення виразу. Повернемося до виразу. Даний вираз є поділ, який можна виконати. Виконавши цей поділ, ми отримуємо значення даного виразу, яке дорівнює 0,5

Але ми спростили вираз і отримали новий спрощений вираз. Значення нового спрощеного виразу, як і раніше, дорівнює 0,5

Але вираз ми теж спробували спростити, обчисливши його. У результаті отримали остаточну відповідь 0,5.

Таким чином, як би ми не спрощували вираз, значення одержуваних виразів, як і раніше, дорівнює 0,5. Отже спрощення виконувалося правильно кожному етапі. Саме цього потрібно прагнути при спрощенні висловів — значення висловлювання має постраждати від наших дій.

Часто потрібно спрощувати буквені вирази. Їх справедливі самі правила спрощення, як і числових выражений. Можна виконувати будь-які допустимі дії, аби не змінилося значення виразу.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.Спростити вираз 5,21s × t × 2,5

Щоб спростити цей вираз, можна окремо перемножити числа та окремо перемножити букви. Це завдання дуже схоже на те, що ми розглядали, коли вчилися визначати коефіцієнт:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Таким чином, вираз 5,21s × t × 2,5спростилося до 13,025st.

приклад 2.Спростити вираз −0,4 × (−6,3b) × 2

Другий твір (−6,3b)можна перевести у зрозумілий нам вигляд, саме записати як ( −6,3)×b ,потім окремо перемножити числа та окремо перемножити літери:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Таким чином, вираз −0,4 × (−6,3b) × 2 спростилося до 5,04b

приклад 3.Спростити вираз

Розпишемо цей вираз докладніше, щоб добре побачити, де числа, а де букви:

Тепер окремо перемножимо числа та окремо перемножимо літери:

Таким чином, вираз спростилося до −abc.Дане рішення можна записати коротше:

При спрощенні виразів дроби можна скорочувати в процесі рішення, а не в самому кінці, як ми це робили зі звичайними дробами. Наприклад, якщо в ході рішення ми натрапимо на вираз виду, то зовсім необов'язково обчислювати чисельник і знаменник і робити щось на зразок цього:

Дроб можна скоротити, вибираючи по множнику в чисельнику і в знаменнику і скорочувати ці множники на їхній найбільший спільний дільник. Іншими словами, використовувати , в якій ми не розписуємо докладно, на що був розділений чисельник і знаменник.

Наприклад, в чисельнику множник 12 і в знаменнику множник 4 можна скоротити на 4.

Тепер можна перемножити маленькі множники. В даному випадку їх небагато і можна перемножити в думці:

Згодом можна виявити, що вирішуючи те чи інше завдання, вирази починають «товстіти», тому бажано привчитися до швидких обчислень. Те, що можна обчислити в умі, потрібно обчислювати в умі. Те, що можна скоротити, потрібно швидко скорочувати.

приклад 4.Спростити вираз

Таким чином, вираз спростилося до

Приклад 5.Спростити вираз

Перемножимо окремо числа та окремо букви:

Таким чином, вираз спростилося до mn.

Приклад 6.Спростити вираз

Запишемо цей вираз докладніше, щоб добре побачити, де числа, а де букви:

Тепер окремо перемножимо числа та окремо букви. Для зручності обчислень десятковий дріб −6,4 та змішане число можна перевести у звичайні дроби:

Таким чином, вираз спростилося до

Рішення для цього прикладу можна записати значно коротше. Виглядатиме воно наступним чином:

Приклад 7.Спростити вираз

Перемножимо окремо числа та окремо букви. Для зручності обчислення змішане число та десяткові дроби 0,1 та 0,6 можна перевести у звичайні дроби:

Таким чином, вираз спростилося до abcd. Якщо пропустити подробиці, то це рішення можна записати значно коротше:

Зверніть увагу на те, як скоротився дріб. Нові множники, які утворюються внаслідок скорочення попередніх множників, теж допускається скорочувати.

Тепер поговоримо про те, що робити не можна. При спрощенні виразів категорично не можна перемножувати числа і букви, якщо вираз є сумою, а чи не твором.

Наприклад, якщо потрібно спростити вираз 5a + 4b, то не можна записувати так:

Це рівнозначно тому, що якби нас попросили скласти два числа, а ми їх перемножували б замість того, щоб складати.

При підстановці будь-яких значень змінних aі bвираз 5a +4bзвертається у звичайне числове вираз. Припустимо, що змінні aі bмають такі значення:

a = 2, b = 3

Тоді значення виразу дорівнюватиме 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Спочатку виконується множення, а потім отримані результати складають. А якби ми спробували спростити цей вираз, перемноживши числа та літери, то вийшло б таке:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 × 2 × 3 = 120

Виходить зовсім інше значення виразу. У першому випадку вийшло 22 , у другому випадку 120 . Це означає, що спрощення виразу 5a + 4bбуло виконано неправильно.

Після спрощення виразу, його значення не повинно змінюватися при одних і тих самих змінних значеннях. Якщо при підстановці в початковий вираз будь-яких значень змінних виходить одне значення, то після спрощення виразу має виходити те саме значення, що й до спрощення.

З виразом 5a + 4bнасправді нічого робити не можна. Воно не спрощується.

Якщо у виразі містяться подібні доданки, їх можна скласти, якщо нашою метою є спрощення висловлювання.

Приклад 8.Спростити вираз 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

або коротше: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a

Таким чином, вираз 0,3a−0,4a+aспростилося до 0,9a

Приклад 9.Спростити вираз −7,5a − 2,5b + 4a

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

або коротше −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

доданок (−2,5b)залишилося без змін, оскільки його не було з чим складати.

Приклад 10Спростити вираз

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

Коефіцієнт був зручності обчислення.

Таким чином, вираз спростилося до

Приклад 11.Спростити вираз

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

Таким чином, вираз спростилося до .

У цьому прикладі доцільніше було б скласти перший і останній коефіцієнт насамперед. У цьому випадку ми б отримали коротке рішення. Виглядало б воно так:

Приклад 12Спростити вираз

Щоб спростити цей вираз можна навести такі складові:

Таким чином, вираз спростилося до .

Доданок залишився без зміни, оскільки його не було з чим складати.

Це рішення можна записати значно коротше. Виглядатиме воно наступним чином:

У короткому рішенні пропущено етапи заміни віднімання додаванням та докладний запис, як дроби приводилися до спільного знаменника.

Ще одна відмінність полягає в тому, що у докладному рішенні відповідь виглядає як , а короткому як . Насправді, це один і той самий вислів. Відмінність у тому, що в першому випадку віднімання замінено додаванням, оскільки на початку коли ми записували рішення в докладному вигляді, ми скрізь де можна замінили віднімання додаванням, і ця заміна збереглася і для відповіді.

Тотожності. Тотожно рівні вирази

Після того, як ми спростили будь-який вираз, він стає простішим і коротшим. Щоб перевірити, чи правильно спрощено вираз, достатньо підставити будь-які значення змінних спочатку у попередній вираз, який потрібно спростити, а потім у новий, який спростили. Якщо значення обох висловлюваннях буде однаковим, то вираз спрощено правильно.

Розглянемо найпростіший приклад. Нехай потрібно спростити вираз 2a × 7b. Щоб спростити цей вираз, можна окремо перемножити числа та літери:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Перевіримо чи ми спростили вираз. Для цього підставимо будь-які значення змінних aі bспочатку в перший вираз, який потрібно спростити, а потім у другий, який спростили.

Нехай значення змінних a , bбудуть наступними:

a = 4, b = 5

Підставимо їх у перший вираз 2a × 7b

Тепер підставимо ті ж значення змінних у вираз, що вийшло внаслідок спрощення 2a×7b, А саме у вираз 14ab

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Бачимо, що за a=4і b=5значення першого виразу 2a×7bта значення другого виразу 14abрівні

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 × 4 × 5 = 280

Те саме станеться і для будь-яких інших значень. Наприклад, нехай a=1і b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 × 1 × 2 = 28

Таким чином, при будь-яких значеннях змінних виразів 2a×7bі 14abрівні одному й тому самому значенню. Такі вирази називають тотожно рівними.

Робимо висновок, що між виразами 2a×7bі 14abможна поставити знак рівності, оскільки вони рівні тому самому значенню.

2a × 7b = 14ab

Рівністю називають будь-який вираз, який з'єднаний знаком рівності (=).

А рівність виду 2a×7b = 14abназивають тотожністю.

Тотожністю називають рівність, яка вірна за будь-яких значень змінних.

Інші приклади тотожностей:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Так, закони математики, які ми вивчали, є тотожністю.

Вірні числові рівності також є тотожностями. Наприклад:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Вирішуючи складне завдання, щоб полегшити собі обчислення, складне вираз замінюють більш просте вираз, тотожно рівне попередньому. Таку заміну називають тотожним перетворенням виразуабо просто перетворенням виразу.

Наприклад, ми спростили вираз 2a × 7b, і отримали більш простий вираз 14ab. Це спрощення можна називати тотожним перетворенням.

Часто можна зустріти завдання, у якому сказано «доведіть, що рівність є тотожністю» і далі наводиться рівність, яку потрібно довести. Зазвичай ця рівність складається з двох частин: лівої та правої частини рівності. Наше завдання полягає в тому, щоб виконати тотожні перетворення з однієї з частин рівності та отримати іншу частину. Або виконати тотожні перетворення з обома частинами рівності і зробити так, щоб в обох частинах рівності виявилися однакові вирази.

Наприклад, доведемо, що рівність 0,5a × 5b = 2,5abє тотожністю.

Спростимо ліву частину цієї рівності. Для цього перемножимо числа та літери окремо:

0,5×5×a×b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

В результаті невеликого тотожного перетворення, ліва частина рівності стала рівна правій частині рівності. Отже ми довели, що рівність 0,5a × 5b = 2,5abє тотожністю.

З тотожних перетворень ми навчилися складати, віднімати, множити і ділити числа, скорочувати дроби, наводити подібні доданки, і навіть спрощувати деякі висловлювання.

Але це далеко не всі тотожні перетворення, які існують у математиці. Тотожних перетворень набагато більше. У майбутньому ми ще не раз у цьому переконаємось.

Завдання для самостійного вирішення:

Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки

ТЕМА ЕЛЕКТИВНОГО ПРЕДМЕТА

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧИСЛОВИХ І БУКВЕННИХ ВИРАЗІВ

Кількість 34 години

вчитель математики вищої

МОУ «ЗОШ №51»

Саратов, 2008

ПРОГРАМА ЕЛЕКТИВНОГО ПРЕДМЕТА

«ПЕРЕТВОРЕННЯ ЧИСЛОВИХ І БУКВЕННИХ ВИРАЗІВ»

Пояснювальна записка

В останні роки випускні іспити у школах, а також вступні іспити у вишах проводяться за допомогою тестів. Ця форма перевірки відрізняється від класичного іспиту та потребує специфічної підготовки. Особливістю тестування в тому вигляді, що склався до теперішнього часу, є необхідність відповіді на велику кількість питань за обмежений проміжок часу, тобто потрібно не просто відповідати на поставлені питання, а й робити це швидко. Тому важливо освоїти різні прийоми, методи, що дозволяють досягти бажаного результату.

При вирішенні майже будь-якої шкільної задачі доводиться робити певні перетворення. Найчастіше її складність повністю визначається ступенем складності та обсягом перетворень, які необхідно виконати. Не рідкісні випадки, коли школяр виявляється не в змозі вирішити завдання не тому, що не знає, як воно вирішується, а тому, що він не може без помилок, у розумний час зробити всі необхідні перетворення та обчислення.

Елективний курс «Перетворення числових та літерних виразів» розширює та поглиблює базову програму з математики в середній школі та розрахований на вивчення у 11 класі. Пропонований курс ставить за мету розвиток обчислювальних навичок та гостроти мислення. Курс розрахований на учнів, які мають високий або середній рівень математичної підготовки, і покликаний допомогти їм підготуватися до вступу до ВНЗ, сприяти продовженню серйозної математичної освіти.

Цілі і завдання:

Систематизація, узагальнення та розширення знання учнів про числа та дії з ними;

Розвиток самостійності, творчого мислення та пізнавального інтересу учнів;

формування інтересу до обчислювального процесу;

Адаптація учнів до нових правил вступу до ВНЗ.

Очікувані результати:

Знання класифікації чисел;

Удосконалення умінь та навичок швидкого рахунку;

Вміння користуватися математичним апаратом під час вирішення різних завдань;

Навчально-тематичний план

План розрахований на 34 години. Він складено з урахуванням теми диплома, тому розглядаються дві окремі частини: числові та буквені вирази. На розсуд вчителя, літерні вирази можна розглядати разом із числовими у відповідних темах.

		Кількість годин
	Числові вирази Цілі числа Метод математичної індукції Раціональні числа Десяткові періодичні дроби Ірраціональні числа Коріння та ступеня Логарифми Тригонометричні функції Зворотні тригонометричні функції Комплексні числа Тест на тему «Числові висловлювання» Порівняння числових виразів Літерні вирази Перетворення виразів із радикалами Перетворення статечних виразів Перетворення логарифмічних виразів Перетворення тригонометричних виразів Підсумковий тест

Цілі числа (4г)

Числовий ряд. Основна теорема математики. НОД та НОК. Ознаки подільності. Метод математичної індукції.

Раціональні числа (2 год)

Визначення оптимального числа. Основна властивість дробу. Формули скороченого множення. Визначення періодичного дробу. Правило переведення з десяткового періодичного дробу до звичайного.

Ірраціональні числа. Радикали. Ступінь. Логарифми (6ч)

Визначення ірраціонального числа. Доказ ірраціональності числа. Звільнення від ірраціональності у знаменнику. Справжні числа. Властивості ступеня. Властивості арифметичного кореня n-го ступеня. Визначення логарифму. Властивості логарифмів.

Тригонометричні функції (4ч)

Числове коло. Числові значення тригонометричних функцій основних кутів. Переклад величини кута із градусного заходу в радіану і навпаки. Основні тригонометричні формули. Формули наведення. Зворотні тригонометричні функції. Тригонометричні операції над аркфункціями. Основні відносини між аркфункціями.

Комплексні числа (2г)

Концепція комплексного числа. Дії із комплексними числами. Тригонометрична та показова форми комплексного числа.

Проміжне тестування (2год)

Порівняння числових виразів (4ч)

Числові нерівності на безлічі дійсних чисел. Властивості числових нерівностей. Опорні нерівності. Методи доказу числових нерівностей.

Літерні вирази (8год)

Правила перетворення виразів із змінними: багаточленів; алгебраїчних дробів; ірраціональних виразів; тригонометричних та інших виразів. Докази тотожностей та нерівностей. Спрощення виразів.

1 частина елективного предмета: «Числові вирази»

ЗАНЯТТЯ 1(2 години)

Тема урока: Цілі числа

Цілі уроку:Узагальнити та систематизувати знання учнів про числа; згадати поняття НОД та НОК; розширити знання про ознаки подільності; розглянути завдання, розв'язувані у цілих числах.

Хід уроку

I. Вступна лекція.

Класифікація чисел:

Натуральні числа;

Цілі числа;

Раціональні числа;

дійсні числа;

Комплексні числа.

Знайомство з числовим рядом у школі починається з поняття натурального числа. Числа, що вживаються за рахунку предметів, називаються натуральними.Безліч натуральних чисел позначається N. Натуральні числа поділяються на прості та складові. Прості числа мають лише два дільники одиницю і саме число, складові числа мають більше двох дільників. Основна теорема арифметикиговорить: «Будь-яке натуральне число, більше 1, можна у вигляді твори простих чисел (не обов'язково різних), і до того ж єдиним чином (з точністю до порядку співмножників)».

З натуральними числами пов'язані ще два важливі арифметичні поняття: найбільший спільний дільник (НДД) та найменше загальне кратне (НОК). Кожне з цих понять фактично визначає саме себе. Вирішення багатьох завдань полегшують ознаки подільності, які необхідно згадати.

Ознака ділимості на 2 . Число ділиться на 2, якщо його остання цифра парна або о.

Ознака ділимості на 4 . Число ділиться на 4, якщо дві останні цифри нулі або утворюють число, що ділиться на 4.

Ознака ділимості на 8. Число ділиться на 8, якщо три останні цифри нулі або утворюють число, що ділиться на 8.

Ознаки подільності на 3 та 9. На 3 діляться ті числа, які мають сума цифр ділиться на 3; на 9 – лише ті, у яких сума цифр поділяється на 9.

Ознака ділимості на 6. Число ділиться на 6, якщо воно ділиться одночасно на 2 та на 3.

Ознака ділимості на 5 . На 5 діляться числа, остання цифра яких 0 чи 5.

Ознака ділимості на 25. На 25 діляться числа, останні дві цифри яких нулі або утворюють число, що ділиться на 25.

Ознаки подільності на 10,100,1000. На 10 діляться лише ті числа, остання цифра яких 0, на 100 - тільки ті числа, у яких дві останні цифри 0, на 1000 - тільки ті, у яких три останні цифри 0.

Ознака ділимості на 11 . На 11 діляться ті числа, які мають сума цифр, які займають непарні місця, або дорівнює сумі цифр, які займають парні місця, або відрізняється від неї на число, що ділиться на 11.

На першому занятті ми розглянемо натуральні та цілі числа. Цілічисла - це натуральні числа, числа протилежні їм та нуль. Безліч цілих чисел позначається Z.

II. Вирішення задач.

ПРИКЛАД 1. Розкладіть на прості множники: а) 899; б) 1000027.

Рішення: а);

б) ПРИКЛАД 2. Знайти НОД чисел 2585 і 7975.

Рішення: Скористаємося алгоритмом Евкліда:

Якщо https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_155.gif" width="167" height="29 src=">;

https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_127.gif" width="88" height="29 src=">.gif" width="16" height="29">

220 |165 -

165|55 -

Відповідь: НОД(2585,7975) = 55.

ПРИКЛАД 3. Обчисліть:

Рішення: = 1987100011989. Цьому ж значенню одно і друге твір. Отже, різницю дорівнює 0.

ПРИКЛАД 4. Знайдіть НОД і НОК чисел а) 5544 та 1404; б) 198, 504 та 780.

Відповіді: а) 36; 49896; б) 6; 360360.

ПРИКЛАД 5. Знайти приватне та залишок при розподілі

а) 5 на 7; https://pandia.ru/text/78/342/images/image013_75.gif" width="109" height="20 src=">;

в) -529 (-23); https://pandia.ru/text/78/342/images/image015_72.gif" width="157" height="28 src=">;

д) 256 (-15); https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_68.gif" width="101" height="23">

Рішення: https://pandia.ru/text/78/342/images/image020_64.gif" width="123 height=28" height="28">.

б)

Рішення: http://pandia.ru/text/78/342/images/image024_52.gif" width="95" height="23">.

ПРИКЛАД 7..gif" width="67" height="27 src="> на17.

Рішення: Введемо запис , Що означає, що при розподілі на m числа a, b, c, ... d дають один і той же залишок.

Отже, за будь-якого натурального k буде

Але 1989 = 16124 +5. Значить,

Відповідь: Залишок дорівнює 12.

ПРИКЛАД 8. Знайдіть найменше натуральне число, більше 10, яке при розподілі на 24, 45 і 56 давало б у залишку 1.

Відповідь: НОК (24; 45; 56) +1 = 2521.

ПРИКЛАД 9. Знайдіть найменше натуральне число, яке ділиться на 7, а при розподілі на 3, 4 та 5 дає у залишку 1.

Відповідь: 301. Вказівка. Серед чисел виду 60k + 1 треба знайти найменше, що ділиться на 7; k = 5.

ПРИКЛАД 10. Припишіть до 23 по одній цифрі праворуч і ліворуч так, щоб чотиризначне число, що вийшло, ділилося на 9 і на 11.

Відповідь: 6237.

ПРИКЛАД 11. Припишіть до числа ззаду три цифри так, щоб отримане число ділилося на 7, 8 і 9.

Відповідь: 304 або 808. Вказівка. Число при розподілі на = 789) дає в залишку 200. Отже, якщо додати до нього 304 або 808, воно ділитися на 504.

ПРИКЛАД 12. Чи можна у тризначному числі, що ділиться на 37, переставити цифри так, щоб отримане число теж ділилося на 37?

Відповідь: Можна. Вказівка. 100b +k - 100a - 10b) + a = 370k - 999a, тобто В поділяється на 37.

ПРИКЛАД 13. Знайдіть число, при розподілі на яке числа 1108, 1453,1844 і 2281 дають однаковий залишок.

Відповідь: 23. Вказівка. Різниця будь-яких двох даних чисел ділиться на шукане. Значить, нам підходить будь-який, відмінний від 1 спільний дільник всіляких різниць даних

ПРИКЛАД 14. Подайте 19 у вигляді різниці кубів натуральних чисел.

ПРИКЛАД 15. Квадрат натурального числа дорівнює добутку чотирьох послідовних непарних чисел. Знайдіть це число.

Відповідь: .

ПРИКЛАД 16..gif" width="115" height="27"> не ділиться на 10.

Відповідь: а) Вказівка. Згрупувавши перший і останній доданок, другий і передостанній і т. д., скористатися формулою суми кубів.

б) Вказівка..gif" width="120" height="20">.

4) Знайдіть усі пари натуральних чисел, НОД яких дорівнює 5, а НОК – 105.

Відповідь: 5, 105 чи 15, 35.

ЗАНЯТТЯ 2(2 години)

Тема урока:Метод математичної індукції.

Мета уроку:Розглянути математичні твердження, які потребують доказів; познайомити учнів із методом математичної індукції; розвивати логічне мислення.

Хід уроку

I. Перевірка домашнього завдання.

II. Пояснення нового матеріалу.

У шкільному курсі математики поруч із завданнями «Знайти значення висловлювання» зустрічаються завдання виду: «Довести рівність». Одним із найуніверсальніших методів доказів математичних тверджень, у яких фігурують слова «для довільного натурального n», є метод повної математичної індукції.

Доказ за допомогою цього методу завжди складається із трьох етапів:

1) Базис індукції. Перевіряється справедливість затвердження n = 1.

У деяких випадках для початку індукції доводиться перевіряти кілька

початкових значень.

2) Припущення індукції. Передбачається, що твердження правильне для будь-кого

3) Індуктивний крок. Доводиться справедливість затвердження для

Таким чином, розпочавши з n = 1, на підставі доведеного індуктивного переходу отримуємо справедливість твердження, що доводиться

n =2, 3,…т. е. для будь-якого n.

Розглянемо кілька прикладів.

ПРИКЛАД 1: Довести, що за будь-якого натурального n число ділиться на 7 .

Доказ: Позначимо .

1 крок..gif" width="143" height="37 src="> ділиться на 7.

3 крок..gif" width="600" height="88">

Останнє число ділиться на 7, тому що є різницею двох цілих чисел, що діляться на 7.

ПРИКЛАД 2: Довести рівність https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_31.gif" width="240"

http://pandia.ru/text/78/342/images/image049_34.gif" width="157" виходить з заміною n на k=1.

III. Вирішення задач

На першому уроці з наведених нижче завдань (№ 1-3) для вирішення вибираються дещо на розсуд вчителя для розбору на дошці. На другому уроці розглядаються №4,5; проводиться самостійна робота з №1-3; № 6 пропонується як додатковий, із обов'язковим рішенням його на дошці.

1) Доведіть, що а) ділиться на 83;

б) ділиться на 13;

в) ділиться на 20 801.

2) Доведіть, що за будь-яких натуральних n:

а) ділиться на 120;

б) ділиться на 27;

в) ділиться на 84;

г) ділиться на 169;

д) ділиться на 8;

е) ділиться на 8;

ж) ділиться на16;

з) ділиться на 49;

і) ділиться на 41;

к) ділиться на 23;

л) ділиться на 13;

м) ділиться на .

3) Доведіть, що:

г) ;

4) Виведіть формулу суми .

6) Доведіть, що сума членів кожного рядка таблиці

…………….

дорівнює квадрату непарного числа, номер якого в рядку дорівнює номеру рядка від початку таблиці.

Відповіді та вказівки.

1) Скористаємося записом, введеним у прикладі 4 попереднього уроку.

а) . Отже, ділиться на 83 .

б) Оскільки , то;

. Отже, .

в) Оскільки , треба довести, що це число ділиться на 11, 31 і 61.." width="120" height="32 src=">. Аналогічно доводиться ділити на 11 і 31.

2) а) Доведемо, що цей вираз ділиться на 3, 8, 5. Подільність на 3 випливає з того, що а з трьох послідовних натуральних чисел одне ділиться на 3..gif width="72". Для перевірки подільності на 5 достатньо розглянути значення n = 0,1,2,3,4.

Програма елективного курсу «Перетворення числових та літерних виразів»

Пояснювальна записка

В останні роки перевірка якості шкільної математичної освіти проводиться за допомогою КІМів, основна частина завдань яких пропонується у тестовій формі. Ця форма перевірки відрізняється від класичної екзаменаційної роботи та потребує специфічної підготовки. Особливістю тестування у вигляді, що склався на цей час, необхідність відповіді велика кількість питань за обмежений проміжок часу, тобто. потрібно не просто правильно відповідати на поставлені питання, а й робити це досить швидко. Тому для учнів важливо освоїти різні прийоми, методи, які дозволять досягати бажаного результату.

При вирішенні майже будь-якої шкільної математичної задачі доводиться робити певні перетворення. Найчастіше її складність повністю визначається ступенем складності та обсягом перетворень, які необхідно виконати. Не рідкісні випадки, коли школяр виявляється не в змозі вирішити завдання не тому, що не знає, як воно вирішується, а тому, що він не може без помилок, у відведений час зробити всі необхідні перетворення та обчислення.

Приклади перетворення числових висловів важливі не власними силами, бо як засіб розвитку техніки перетворень. З кожним роком шкільного навчання поняття числа розширюється від натурального до дійсного і, у старшій школі вивчаються перетворення статечних, логарифмічних та тригонометричних виразів. Цей матеріал досить складний вивчення, оскільки містить багато формул і правил перетворення.

Щоб спростити вираз, виконати необхідні дії чи обчислити значення висловлювання, треба зазначити, у якому напрямі слід «рухатися» шляхом перетворень, які призводять найкоротшим «маршрутом» до правильної відповіді. Вибір раціонального шляху багато в чому залежить володіння всім обсягом інформації про способи перетворень виразів.

У старших класах з'являється необхідність систематизації та поглиблення знань та практичних навичок у роботі з числовими виразами. Як показує статистика близько 30% помилок, що допускаються при вступі до вузів, мають обчислювальний характер. Отже, при розгляді відповідних тем у середній ланці та при повторенні у старшому необхідно приділяти більше уваги розвитку обчислювальних навичок у школярів.

Тому, на допомогу вчителям, які викладають в 11-х класах профільної школи, можна запропонувати елективний курс «Перетворення числових і літерних виразів у шкільному курсі математики».

Класи:== 11

Тип курсу:

систематизуючий, узагальнюючий та поглиблюючий курс.

Кількість годин:

34 (на тиждень – 1 година)

Освітня область:

математика

Цілі та завдання курсу:

Систематизація, узагальнення та розширення знання учнів про числа та дії з ними; - формування інтересу до обчислювального процесу; - розвиток самостійності, творчого мислення та пізнавального інтересу учнів; - адаптація учнів до нових правил вступу до ВНЗ.

Організація вивчення курсу

Елективний курс «Перетворення числових та літерних виразів» розширює та поглиблює базову програму з математики в середній школі та розрахований на вивчення у 11 класі. Пропонований курс ставить за мету розвиток обчислювальних навичок та гостроти мислення. Курс побудований за класичною поурочною схемою, з упором на практичні заняття. Він розрахований на учнів, які мають високий або середній рівень математичної підготовки і покликаний допомогти їм підготуватися до вступу до ВНЗ, сприяти продовженню серйозної математичної освіти.

Заплановані результати:

Знання класифікації чисел;

Удосконалення умінь та навичок швидкого рахунку;

Вміння користуватися математичним апаратом під час вирішення різних завдань;

Розвиток логічного мислення, що сприяє продовженню серйозної математичної освіти.

Зміст елективного предмета «Перетворення числових та літерних виразів»

Цілі числа (4г):Числовий ряд. Основна теорема математики. НОД та НОК. Ознаки подільності. Метод математичної індукції.

Раціональні числа (2год):Визначення оптимального числа. Основна властивість дробу. Формули скороченого множення. Визначення періодичного дробу. Правило переведення з десяткового періодичного дробу до звичайного.

Ірраціональні числа. Радикали. Ступінь. Логарифми (6ч):Визначення ірраціонального числа. Доказ ірраціональності числа. Звільнення від ірраціональності у знаменнику. Справжні числа. Властивості ступеня. Властивості арифметичного кореня n-го ступеня. Визначення логарифму. Властивості логарифмів.

Тригонометричні функції (4год):Числове коло. Числові значення тригонометричних функцій основних кутів. Переклад величини кута із градусного заходу в радіану і навпаки. Основні тригонометричні формули. Формули наведення. Зворотні тригонометричні функції. Тригонометричні операції над аркфункціями. Основні відносини між аркфункціями.

Комплексні числа (2год):Концепція комплексного числа. Дії із комплексними числами. Тригонометрична та показова форми комплексного числа.

Проміжне тестування (2год)

Порівняння числових виразів (4год):Числові нерівності на безлічі дійсних чисел. Властивості числових нерівностей. Опорні нерівності. Методи доказу числових нерівностей.

Літерні вирази (8год):Правила перетворення виразів із змінними: багаточленів; алгебраїчних дробів; ірраціональних виразів; тригонометричних та інших виразів. Докази тотожностей та нерівностей. Спрощення виразів.

Навчально-тематичний план

План розрахований на 34 години. Він складено з урахуванням теми диплома, тому розглядаються дві окремі частини: числові та буквені вирази. На розсуд вчителя, літерні вирази можна розглядати разом із числовими у відповідних темах.

№	Тема заняття	Кількість годин
1.1	Цілі числа	2
1.2	Метод математичної індукції	2
2.1	Раціональні числа	1
2.2	Десяткові періодичні дроби	1
3.1	Ірраціональні числа	2
3.2	Коріння та ступеня	2
3.3	Логарифми	2
4.1	Тригонометричні функції	2
4.2	Зворотні тригонометричні функції	2
5	Комплексні числа	2
	Тест на тему «Числові висловлювання»	2
6	Порівняння числових виразів	4
7.1	Перетворення виразів із радикалами	2
7.2	Перетворення статечних та логарифмічних виразів	2
7.3	Перетворення тригонометричних виразів	2
	Підсумковий тест	2
	Разом	34

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Запис умов завдань з допомогою прийнятих у математиці позначень призводить до появи про математичних виразів, які називають просто выражениями. У цій статті ми детально поговоримо про числові, буквені вирази та вирази зі змінними: дамо визначення та наведемо приклади виразів кожного виду.

Навігація на сторінці.

Числові вирази – що це?

Знайомство з числовими висловлюваннями починається майже з перших уроків математики. Але своє ім'я – числові вирази – вони офіційно набувають трохи пізніше. Наприклад, якщо дотримуватися курсу М. І. Моро, це відбувається на сторінках підручника математики для 2 класів. Там уявлення про числові висловлювання дається так: 3+5 , 12+1−6 , 18−(4+6) , 1+1+1+1+1 тощо. - це все числові вирази, а якщо у виразі виконати зазначені дії, то знайдемо значення виразу.

Можна дійти невтішного висновку, що у цьому етапі вивчення математики числовими висловлюваннями називають які мають математичний сенс записи, складені з чисел, дужок і символів складання і віднімання.

Трохи пізніше, після знайомства з множенням та розподілом, записи числових виразів починають містити знаки «·» та «:». Наведемо кілька прикладів: 6·4, (2+5)·2, 6:2, (9·3):3 і т.п.

А в старших класах різноманітність записів числових виразів розростається як снігова грудка, що котиться з гори. Вони з'являються прості і десяткові дроби, змішані числа і негативні числа, ступеня, коріння, логарифми, синуси, косинуси тощо.

Узагальним всю інформацію на визначення числового виразу:

Визначення.

Числовий вираз- це комбінація чисел, знаків арифметичних дій, дробових рис, знаків кореня (радикалів), логарифмів, позначень тригонометричних, зворотних тригонометричних та інших функцій, а також дужок та інших спеціальних математичних символів, складена відповідно до прийнятих математики правил.

Роз'яснимо всі складові озвученого визначення.

У числових висловлюваннях можуть брати участь будь-які числа: від натуральних до дійсних, і навіть комплексних. Тобто в числових виразах можна зустріти

Зі знаками арифметичних дій все зрозуміло – це знаки додавання, віднімання, множення та поділу, що мають відповідно вигляд «+», «−», «·» та «:». У числових виразах може бути один із цих знаків, деякі з них або всі відразу, і причому по кілька разів. Ось приклади числових виразів із ними: 3+6 , 2,2+3,3+4,4+5,5 , 41−2·4:2−5+12·3·2:2:3:12−1/12.

Що стосується дужок, то мають місце як числові вирази, в яких є дужки, так і без них. Якщо у числовому вираженні є дужки, то вони в основному

А іноді дужки у числових виразах мають якесь певне окремо зазначене спеціальне призначення. Наприклад, можна зустріти квадратні дужки, що позначають цілу частину числа, так числове вираз +2 означає, що до цілої частини числа 1,75 додається число 2 .

З визначення числового виразу також видно, що у виразі можуть бути присутніми , , log , ln , lg , позначення або т.п. Ось приклади числових виразів із ними: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 і .

Розподіл у числових виразах може бути позначений за допомогою . У цьому випадку мають місце числові вирази з дробами. Наведемо приклади таких виразів: 1/(1+2) , 5+(2·3+1)/(7−2,2)+3 та .

Як спеціальні математичні символи та позначення, які можна зустріти в числових виразах, наведемо . Наприклад покажемо числове вираз із модулем .

Що таке літерні вирази?

Поняття буквених виразів дається практично відразу після знайомства з числовими виразами. Вводиться воно приблизно так. У деякому числовому виразі одне з чисел не записується, а замість нього ставиться кружальце (або квадратик, або щось подібне), і говориться, що замість кружечка можна підставити деяке число. Наприклад наведемо запис . Якщо замість квадратика поставити, наприклад, число 2, то вийде числове вираз 3+2. Так ось замість кружечків, квадратиків тощо. умовилися записувати літери, а такі вирази з літерами назвали літерними виразами. Повернемося до нашого прикладу, якщо в цьому записі замість квадратика поставити букву a, то вийде літерний вираз виду 3+a.

Отже, якщо допустити в числовому виразі присутність літер, якими позначені деякі числа, то вийде так зване літерне вираз. Дамо відповідне визначення.

Визначення.

Вираз, що містить літери, якими позначені деякі числа, називається буквеним виразом.

З цього визначення відомо, що буквене вираз відрізняється від числового виразу тим, що може містити букви. Зазвичай у буквених виразах використовуються маленькі літери латинського алфавіту (a, b, c, … ), а при позначенні кутів – маленькі літери грецького алфавіту (α, β, γ, …).

Отже, літерні вирази можуть бути складені з чисел, літер та містити всі математичні символи, які можуть зустрічатися у числових виразах, такі як дужки, знаки коренів, логарифми, тригонометричні та інші функції тощо. Окремо підкреслимо, що буквене вираз містить щонайменше одну букву. Але може містити і кілька однакових чи різних букв.

Тепер наведемо кілька прикладів буквених виразів. Наприклад, a+b – це буквене вираз із літерами a та b . Ось інший приклад буквеного виразу 5 x 3 −3 x 2 +x−2,5 . І наведемо приклад літерного виразу складного вигляду: .

Вирази зі змінними

Якщо в літерному виразі літера позначає величину, яка набирає не якесь одне конкретне значення, а може набувати різних значень, то цю літеру називають змінноїі вираз називають виразом зі змінною.

Визначення.

Вираз зі змінними– це буквене вираз, у якому літери (усі чи деякі) позначають величини, що набувають різних значень.

Наприклад, нехай у виразі x 2 −1 буква x може набувати будь-яких натуральних значень з інтервалу від 0 до 10 , тоді x – є змінна, а вираз x 2 −1 є вираз зі змінною x .

Варто зазначити, що змінних у виразі може бути кілька. Наприклад, якщо вважати x і y змінними, то вираз є виразом з двома змінними x і y.

Взагалі, перехід від поняття буквеного виразу до виразу зі змінними відбувається у 7 класі, коли починають вивчати алгебру. До цього моменту буквені вирази моделювали якісь конкретні завдання. У алгебрі ж починають дивитися на вираз загальніше, без прив'язки до конкретної задачі, з розумінням того, що даний вираз підходить під величезну кількість завдань.

На закінчення цього пункту звернемо увагу ще на один момент: на вигляд буквеного виразу неможливо дізнатися, чи є вхідні до нього літери змінними чи ні. Тому ніщо нам не заважає вважати ці літери змінними. При цьому різниця між термінами «літерний вираз» та «вираз зі змінними» зникає.

Список літератури.

• Математика. 2 кл. Навч. для загальноосвіт. установ із дод. на електрон. носії. О 2 год. Ч. 1/[М. І. Моро, М. А. Бантова, Г. В. Бельтюкова та ін] - 3-тє вид. – К.: Просведение, 2012. – 96 с.: іл. - (Школа Росії). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Математика: навч. для 5 кл. загальноосвіт. установ / Н. Я. Віленкін, В. І. Жохов, А. С. Чесноков, С. І. Шварцбурд. - 21-е вид., Стер. – К.: Мнемозіна, 2007. – 280 с.: іл. ISBN 5-346-00699-0.
• Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.